5. Modélisation et prévision de ventes des Trois Redoutes.

1) La représentation graphique montre l’existence de variations saisonnières de période p = 4. Pour caractériser la tendance, on calcule et on représente les moyennes mobiles de longueur égale à la période soit l = 4. Nous donnons ci-dessous les moyennes mobiles manquantes.

1			100.36125	100.78375
5	102.74500	102.34750

Représentation graphique du C.A. des Trois Redoutes
et des m.m. de longeur 4

2) les coefficients saisonniers du modèle additif sont calculés à l’aide de la règle donnée dans le cours. On obtient les coefficients saisonniers suivants :

s1 = -11.20445

s2 = -4.02664

s3 = 3.44055

s4 = 11.79055

Pour comparer la commande du premier trimestre 1999 (i = 6, j = 1) à celle du 4^e trimestre 1998 (i = 5, j = 4), il est indispensable de désaisonnaliser les valeurs.

x6,1’ = x6,1 - s1 = 105.71445

x5,4’ = x5,4 - s4 = 103.81945

La tendance est restée à la hausse.

3) Le filtre de Buys Ballot est effectivement la méthode qu’il convient d’utiliser puisque le modèle est additif et que la tendance est linéaire.

On a n = 5, p = 4. D’où :

5
S	i mi. = 1 x m1. + 2 x m2. + 3 x m3. + 4 x m4. + 5 x m5. = 1524.4675
i = 1

La moyenne totale est la moyenne des moyennes annuelles ou trimestrielles. On trouve m = 101.301. En appliquant les formules, on obtient  :

b = 0.1238125	a = 100.001
s1 = -10.87928	s2 = -4.31709
s3 = 3.08109	s4 = 12.11528

Le modèle est donc :

x_t = b t + a + s_t + e_t

ou

x_i,j = b [(i-1) x 4 + j) +a + s_j + e_i,j

Les prévisions pour l’année 1999, que l’on reportera sur le graphique, sont :

date	année	trimestre	Coefficient	Tendance	Valeur
			saisonnier	observée	prévue
21	6	1	-10.87928	102.60103	91.72175
22	6	2	-4.31709	102.72484	98.40775
23	6	3	3.08109	102.84866	105.92975
24	6	4	12.11528	102.97247	115.08775

4) La moyenne des résidus est toujours égale à 0. On peut en déduire le résidu manquant, ou calculer ce dernier par la formule :

e_i,j = x_i,j – [b [(i - 1) p + j ] + a + s_j]

pour i = 1 et j = 2. On trouve : e_1,2 = -1.2015.

Connaissant tous les résidus, on peut maintenant en calculer la variance qui est simplement la moyenne de leurs carrés puisque leur moyenne arithmétique est nulle. On obtient :

s² = 3.063605

Pour comparer la prévision 91.72175 du premier trimestre 99 à la valeur observée 94.51, on compare la différence entre ces deux valeurs à l’écart-type des résidus 1.75 ; il n’y a pas besoin de désaisonnaliser puisque ces valeurs correspondent toutes deux au même trimestre. Cette différence, égale à 2.78825, est supérieure à Ö2 s = 2.4745 : les ventes ont augmenté nettement plus que prévu. On applique ici la règle de comparaison de deux valeurs donnée dans le chapitre 2.